makalah matematika PGSD

KELUARGA IMPLIKASI, PROPOSISI BERKUANTOR DAN INGKARANNYA, SERTA TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI

MAKALAH

UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH

Matematika Dasar

Yang dibina oleh Ibu Dra. Hj. Endang Setyo Winarni, M.Pd

Disusun Oleh :

Aulia Al Tsani Izzati                           160151600092

Nining Khasanah                                160151600014

                                               

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN KEPENDIDIKAN SEKOLAH DASAR DAN PRASEKOLAH

September 2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya sehingga makalah tentang Keluarga Implikasi, Proposisi Berkuantor Dan Ingkarannya, Serta Tautologi Dan Kontradiksi ini dapat dengan baik terselesaikan meskipun banyak kekurangan didalamnya. Dan juga kami berterima kasih pada Ibu  Dra. Hj. Endang Setyo Winarni M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Matematika Dasar yang telah memberikan tugas ini kepada kami.

Penyusun menyadari sepenuhnya bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan dan masih banyak kekurangannya, hal ini dikarenakan keterbatasan waktu, pengetahuan dan kemampuan yang dimiliki penyusun, oleh karena itu penyusun sangat mengharapkan adanya saran dan kritik yang sifatnya membangun untuk perbaikan dimasa yang akan datang.

Pada kesempatan ini, penyusun mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu terselesaikannya tugas ini, semoga Allah SWT, membalas amal kebaikannya. Amin.

Dengan segala pengharapan dan doa semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi penyusun khususnya dan bagi pembaca umumnya.

 Malang,   September 2016

Penyusun 

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR   ii

DAFTAR ISI  iii

DAFTAR TABEL   iv

BAB I           PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang. 1

B.     Rumusan Masalah. 2

C.     Tujuan. 2

BAB II         PEMBAHASAN

A.    Keluarga Implikasi 3

B.     Proposisi Berkuantor dan Ingkarannya. 4

1.      Proposisi Berkuantor 4

2.      Ingkaran Proposisi Berkuantor 5

C.     Tautologi dan Kontradiksi 5

1... Tautologi 5

2... Kontradiksi 7

BAB III        PENUTUP

A.    Kesimpulan. 8

B.     Saran. 9

DAFTAR PUSTAKA   10

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Contoh Tabel Kebenaran Tautologi 7

Tabel 2.2 Tabel Kebenaran Kontradiksi 7

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.

Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.

Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran-kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.

Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau salah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat dalam banyak aspek kehidupan. (Chantika, 2013)

Berikut ini akan penulis uraiakan salah satu sub pokok kajian logika matematika tentang keluarga implikasi, proposisi berkuantor dan ingkarannya, serta tautologi dan kontradiksi

B.     Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah pada makalah ini adalah sebagai berikut :

1.      Bagaimana penjabaran keluarga implikasi itu ?

2.      Bagaimana penjabaran proposisi berkuantor dan ingkarannya itu ?

3.      Bagaimana penjabaran tautologi dan kontradiksi itu ?

C.    Tujuan

Adapun tujuan penelitian pada makalah ini adalah sebagai berikut :

1.      Dapat menjadi acuan referensi bagi mahasiswa dalam pengaplikasian di kehidupan sehari-hari

2.      Sebagai tambahan pengetahuan dan tugas kuliah itu sendiri.

3.      Untuk mengetahui maksud dan definisi dari penjelasan keluarga implikasi.

4.      Untuk mengetahui maksud dan definisi dari penjelasan proposisi berkuantor dan ingkarannya.

5.      Untuk mengetahui maksud dan definisi dari penjelasan tautologi dan kontradiksi.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Keluarga Implikasi

Implikasi menggantikan perangkai “jika..maka...”. implikasi yang memiliki tanda ® disebut implikasi material. (Soesianto & Dwijono, 2003, hal. 22-23). Dari suatu implikasi kita dapat membuat implikasi baru dengan menukarkan anteseden dan konsekuen atau dengan mengingkari anteseden dan konsekuen atau melakukan kedua perubahan itu. (Winarni & Harmini, 2016, hal. 10)

1.      Konvers

Ialah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. (Khamdani, 2013) Konvers dari p ® q adalah q ® p

Contoh:

Jika x² bilangan asli, maka x adalah bilangan asli, konversnya berbunyi

Jika x adalah bilangan asli, maka x² bilangan asli

2.      Invers

Adalah pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Invers dari p ® q adalah p̅ ® q̅

Contoh:

Jika Iwan rajin belajar, maka ibunya memberi hadiah, inversnya

Jika Iwan tidak rajin belajar, maka ibunya tidak memberi hadiah

3.      Kontrapositif

Merupakan proposisi atau teorema yg dibentuk dng memperlawankan subjek dan predikatnya, atau hipotesis dan simpulannya. (Anonim, Bahasa Indonesia, 2016)

Kontrapositif dari p ® q adalah  q̅  ® p̅

Contoh:

Jika harga naik, maka permintaan turun, kontrapositifnya

Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik

B.     Proposisi Berkuantor dan Ingkarannya

Sebelum membahas proposisi berkuantor akan lebih baik membahas apa itu proposisi. Proposisi adalah pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau nilai salah tetapi tidak keduanya. Sedangkan menurut F. Soesianto dan Djoni Dwijono (2003; 8) bahwa proposisi-proposisi merupakan pernyataan-pernyataan yang ada di dalam suatu argumen. Pernyataan-pernyataan tersebut selalu mempunyai properti tertentu yakni suatu nilai benar atau salah, dan tak ada nilai lainnya. Pernyataan yang bernilai benar atau salah inilah yang disebut proposisi.

1.      Proposisi Berkuantor

Sedangkan untuk proposisi berkuantor dengan ciri-cirinya proposisi yang memakai kata-kata seperti beberapa atau semua. Proposisi yang memakai kata-kata beberapa atau semua dinamakan proposisi berkuantor. (Winarni & Harmini, 2016, hal. 11)

Contoh

a)      Beberapa mahasiswa indeks prestasinya 3

b)      Semua mahasiswa lulus ujian matematika

c)      Beberapa mahasiswa tidak boros

d)     Tidak semua mahasiswa tinggal di rumah sendiri

Kuantor Eksistensial (Еx) atau (∃x)

Kuantor adalah suatu lambang yang pada kalimat terbuka yang menunjukkan jumlah/kuantitas yang menjadikannya menjadi sebuah pernyataan.

	x + 4 > 8 Jawab: (∃x) (x + 4 > 8) dibaca “Ada x sedemikian sehingga berlaku x + 4 > 8”

 

Ada 2 buah kuantor  

	Kuantor Universal (Αx) atau (∀x)
		x2 > 0 Jawab: (∀x) (x2 > 0) dibaca “untuk semua x berlaku x2 > 0”

 

2.      Ingkaran Proposisi Berkuantor

Ingkaran suatu proposisi berkuantor diperoleh dengan menukar kuantornya (yang semula kuantor universal menjadi kuantor eksistensial dan sebaiknya) dan membuat ingkaran dari kalimat terbukanya.

Contoh :

(Ax) (x berwarna putih) ingkarannya (Еx) (x berwarna tidak putih).

(Еx) (x² = 0) ingkarannya (Ax) (x² ≠ 0)

C.    Tautologi dan Kontradiksi

1.      Tautologi

Tautology adalah proposisi majemuk yang benar dalam segala hal tanpa mempertimbangkan nilai kebenaran komponen-komponennya. (Winarni & Harmini, 2016, hal. 12).

Tautology memiliki arti penting untuk logika, sebab semua penalaran yang sahih tentu suatu tautology, dan setiap tautology pasti sahih. Justru yang disebut penalaran yang sahih itu ialah penalaran yang kalau premis-premisnya tersusun menurut pola tertentu, konklusinya tidak boleh tidak pasti benar. Dan setiap penalaran itu dapat diberi bentuk sebagai proposisi kondisional, yang antesedennya terdiri atas konyungsi dari proposisi-proposisi premisnya, sedang konklusinya menjadi konsekuens yang dihubungkan dengan antesedennya oleh perakit kondisional atau implikasi. (Soekadijo, 2001, hal. 87)

Contoh

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Diubah ke variable proposisional:

A = Tono pergi kuliah

B = Tini pergi kuliah

C = Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)                A à B            (premis)

(2)               

\

C à B             (premis)

(3)                (A ˅ C) à B   (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis:

            ((AàB) ˄ (CàB)) à ((AvC)àB)

Atau

            {AàB , CàB} │= (AvC)àB

Kemudian buatlah table kebenaran dari ekspresi logika tersebut:

 

A	B	C	A®B	C®B	(A®B) Ù (C®B)	AÚC	(AÚC)®B
F	F	F	T	T	T	F	F	T
F	F	T	T	F	F	T	T	T
F	T	F	T	T	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	T	T	T
T	F	T	F	F	F	T	T	T
T	T	F	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T	T

Tabel 2.1 Contoh Tabel Kebenaran Tautologi

Jika table kebenaran menunjukkan hasil tautology, maka argument tersebut valid. Dalam logika, tautology dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi, jika A adalah tautology, maka A = T atau A = 1

2.      Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang salah dalam segala hal tanpa mempertimbangkan nilai kebenaran komponen-komponennya. (Winarni & Harmini, 2016, hal. 12)

Contoh

pernyataan kontradiksi  : p ʌ (~p ʌ q)
           

Tabel 2.2 Tabel Kebenaran Kontradiksi

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Setelah penjabaran materi dalam makalah ini, maka penyusun menyimpulkan sebagai berikut :

1.      Keluarga Implikasi

a.       Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain

b.      Invers adalah pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim

c.       Kontrapositif adalah

2.      Proposisi berkuantor dan ingkarannya

a.       Proposisi ialah proposisi atau teorema yg dibentuk dng memperlawankan subjek dan predikatnya, atau hipotesis dan simpulannya.

b.      Proposisi berkuantor ialah proposisi yang memakai kata-kata beberapa atau semua

c.       Ingkaran proposisi berkuantor ialah Ingkaran suatu proposisi berkuantor diperoleh dengan menukar kuantornya

3.      Tautologi dan kontradiksi

a.       Tautologi merupakan proposisi majemuk yang benar dalam segala hal tanpa mempertimbangka nilai kebenaran komponen-komponennya.

b.      Kontradiksi merupakan proposisi majemuk yang salah dalam segala hal tanpa mempertimbangkan nilai kebenaran komponen-komponennya.

B.     Saran

Untuk mahasiswa pada khususnya sebagai calon pendidik agar mempelajari Keluarga Implikasi, Proposisi Berkuantor Dan Ingkarannya, Serta Tautologi Dan Kontradiksi yang akan membantu dalam proses pembelajaran di sekolah. Selanjutnya, supaya materi dalam makalah ini dapat berguna bagi masyarakat pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. (2016, Juli 22). Bahasa Indonesia. Dipetik September 7, 2016, dari

 Kontraposistif: http://www.bahasaindonesia.net/kontrapositif

Anonim. (2015, Maret 27). Rumus Matematika. Dipetik September 7, 2016, dari

 Kalimat Tautologi Dan Kontradiksi Serta Penggunaannya Pada Pembuktian: http://rumus-matematika.com/kalimat-tautologi-dan-kontradiksi-serta-penggunannya-pada-pembuktian/

Chantika, A. (2013, Mei 17 ). Contoh Makalah Logika Matematika. Dipetik

 September 5, 2016, dari News Informasi: http://newsinformasi013.blogspot.co.id/2013/05/contoh-makalah-logika-matematika_17.html

Khamdani. (2013, September). Konvers, Invers, dan Kontrapositif. Dipetik

September 7, 2016, dari Buku Catatan: http://bukucatatan3.blogspot.co.id/2013/09/konvers-invers-dan-kontraposisi.html

Soekadijo, R. (2001). Logika Dasar tradisional, simbolik, dan induktif. Jakarta:

PT Gramedia Pustaka Utama.

Soesianto, F., & Dwijono, D. (2003). Logika Proposisional. Yogyakarta: Andi.

Winarni, E. S., & Harmini, S. (2016). Matematika untuk PGSD. Bandung: PT

Remaja Rosdakarya.